El cubo
- faces: 6
- edges: 12
- vertices: 8
Método de los desarrollos
- Elegir una cara de referencia
- Identificar caras adyacentes
- Localizar la opuesta
- Comprobar caras que comparten vértice
- Descartar opciones que vuelven adyacentes caras opuestas
Cubos pintados
- total: n^3
- three_painted_faces: 8
- two_painted_faces: 12(n - 2)
- one_painted_face: 6(n - 2)^2
- zero_painted_faces: (n - 2)^3
- example_n_4: [object Object]
Cubos: la regla de la vecindad
No hay que montar el cubo mentalmente. Hay una regla que resuelve casi todo:
En la tira A-B-C-D: A y C son opuestas (las separa la B), y B y D también (las separa la C). En la columna E-B-F: E y F son opuestas. Ya tienes las tres parejas del cubo — A-C, B-D, E-F — sin plegar nada.
Y aquí está la potencia del truco, porque dos caras opuestas:
- NUNCA se pueden ver a la vez en el cubo montado.
- NUNCA son vecinas (no comparten arista).
Así que en «¿qué cubo se forma al plegar este desarrollo?»: saca las tres parejas de opuestas y mira si alguna opción muestra dos caras opuestas a la vez. Si la muestra, es imposible → descartada sin pensar. Suele caer una opción entera con esto.
Si la regla de la línea recta no te alcanza para emparejar todas las caras, empareja por eliminación: saca las parejas seguras y las dos caras que sobren son opuestas entre sí (cada cara tiene exactamente una opuesta).
Para las opciones que sobrevivan, no montes el cubo entero: comprueba solo la esquina donde se juntan las 3 caras visibles, fijando una cara como referencia y siguiendo el sentido de giro de sus vecinas.
Dados: en un dado estándar las opuestas suman 7 (1-6, 2-5, 3-4), y el total de las seis caras es 21. Ojo: el «suman 7» vale SOLO para dados estándar; si te dan un desarrollo, manda la regla de la separación.
Truco. Fija una cara como referencia y sigue el sentido de giro de sus vecinas: si en una opción una cara vecina aparece en el lado contrario al que le toca, descarta esa opción. Y vigila la ORIENTACIÓN del dibujo, no solo su posición: la trampa más fina es la cara correcta, en el sitio correcto... pero girada 90°.
Método detallado con figuras — Cubos y desarrollos
La regla de oro de las caras opuestas
En cualquier desarrollo de cubo: dos caras separadas por exactamente UNA cara (en línea recta) son OPUESTAS. Y las caras opuestas NUNCA se tocan en el desarrollo.
En la tira horizontal A-B-C-D: A y C están separadas por B → opuestas. B y D, separadas por C → opuestas. Y las dos «alas» E y F (separadas por B en vertical) → opuestas.
Método de la cara fija para montar mentalmente: elige una cara de referencia (la central), déjala fija como «frente» y ve plegando las demás a su alrededor de 90° en 90°.
Truco. Para preguntas de «¿qué cara es la opuesta de X?» no montes el cubo: aplica solo la regla de la separación. Es inmediata y no falla.
Ejemplos resueltos
En una tira de 4 caras numeradas 1-2-3-4 (con la 5 encima del 2 y la 6 debajo del 2), ¿cuál es la opuesta del 2?
- En la tira 1-2-3-4, el 2 y el 4 están separados por una cara (el 3).
- Separadas por una cara = opuestas.
La cara 4
¿Qué desarrollos forman cubo? Los 11 válidos
Solo hay 11 desarrollos válidos del cubo. Sin memorizarlos, puedes decidir con estas comprobaciones:
- Como máximo 4 caras en línea recta. Cinco o seis seguidas: imposible.
- Un bloque de 2×2 o 2×3 macizo: imposible (dos caras acabarían superpuestas).
- Las dos «alas» de una tira de 4 deben caer en lados opuestos o columnas distintas; dos alas en la misma columna y el mismo lado se superponen.
- Prueba de la contradicción: aplica la regla de «separadas por una = opuestas». Si una misma cara resulta opuesta a DOS caras distintas, el desarrollo es imposible.
Familias válidas: 6 del tipo 1-4-1, 3 del tipo 2-3-1, 1 del tipo 2-2-2 (escalera) y 1 del tipo 3-3.
Truco. En el examen, descarta primero los desarrollos imposibles (5 en línea, bloques macizos). De los que queden, aplica la regla de opuestas a las caras marcadas.
Ejemplos resueltos
Una fila de 4 cuadrados con 2 cuadrados más colgando debajo del último, en vertical, ¿forma un cubo?
- Llama a la fila A-B-C-D y a los colgados E (bajo D) y F (bajo E).
- Regla de opuestas: en la fila, B es opuesta a D... y en la columna D-E-F, D es opuesta a F. Pero también A-C. Hasta ahí bien.
- Sigue: en la fila A-B-C-D, B–D opuestas; en la columna D–E–F, D–F opuestas. ¡D tendría DOS opuestas (B y F)! Contradicción → no forma cubo.
No: al plegarlo, dos caras se superponen
Dados: caras opuestas suman 7
En un dado estándar las caras opuestas suman 7: 1-6, 2-5, 3-4.
- Si ves el 3 arriba, el 4 está abajo.
- Dos caras que VES a la vez nunca son opuestas (nunca suman 7).
- En preguntas de dados apilados o girados, trabaja siempre con parejas 1-6, 2-5, 3-4.
Truco. «¿Qué cara toca la mesa?» = la opuesta a la de arriba = 7 menos la de arriba.
Ejemplos resueltos
Un dado estándar muestra un 5 arriba y un 3 de frente. ¿Qué cara toca la mesa?
- La cara que toca la mesa es la opuesta a la de arriba.
- 7 − 5 = 2.
El 2
Pirámides: quién toca a quién
Las pirámides se resuelven con una sola pregunta: ¿quién toca a quién al montarla?
- Base cuadrada (desarrollo en estrella: base + 4 triángulos): al montarla, TODOS los triángulos tocan la base, y cada triángulo toca a sus 2 vecinos. El 1 toca al 2 y al 4 (y a la base), pero el 1 NO toca al 3.
- Base triangular (tetraedro: 4 caras): todas las caras se tocan entre sí.
- Visualiza la «bisagra»: cada triángulo gira hacia arriba desde su lado de la base, como pétalos que se cierran.
Recuento para preguntas rápidas: pirámide de base cuadrada = 5 caras, 8 aristas, 5 vértices. Tetraedro = 4 caras, 6 aristas, 4 vértices.
Truco. En desarrollos «en tira» de pirámide, la primera cara puede moverse al otro extremo de la tira y el desarrollo sigue siendo el mismo: si dos opciones solo se diferencian en eso, son la misma pirámide.
Ejemplos resueltos
En una pirámide de base cuadrada con los triángulos numerados 1,2,3,4 alrededor de la base, ¿qué caras toca el triángulo 2?
- Cada triángulo toca a sus dos vecinos y a la base.
- Vecinos del 2: el 1 y el 3.
El 1, el 3 y la base (al 4 no lo toca)
Contar cubos apilados
Para contar cubos en una pila 3D dibujada:
- Divide la figura en columnas verticales.
- Apunta la altura de cada columna (los cubos de abajo EXISTEN aunque no se vean: algo los sostiene).
- Suma las alturas. Mejor por pisos si la figura es escalonada: piso de abajo completo + piso intermedio + piso de arriba.
Variante típica: «¿cuántos cubos FALTAN para completar el bloque?» → calcula el bloque completo (largo × ancho × alto) y resta los que hay.
Truco. El error clásico es olvidar los cubos ocultos que sostienen a los visibles. Si un cubo flota a altura 3, debajo hay 2 cubos sí o sí.
Ejemplos resueltos
Una pila tiene estas columnas (vistas desde arriba, con su altura): 3, 2, 2, 1. ¿Cuántos cubos hay?
- Cada número es una columna completa de cubos.
- 3 + 2 + 2 + 1 = 8.
8 cubos