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Oposición EMT

Series numéricas

Estudio estimado: 18 min

Método

  1. Calcular diferencias
  2. Probar cocientes
  3. Separar posiciones pares e impares
  4. Comprobar patrones conocidos
  5. Verificar la regla en todos los términos
  6. Usar las opciones como contraste

Orden de búsqueda

  • Diferencias constantes — 4, 7, 10, 13, 16 (+3)
  • Diferencias crecientes — 2, 5, 10, 17, 26 (+3, +5, +7, +9; después +11)
  • Multiplicación o división — 3, 6, 12, 24, 48 (×2)
  • Operación combinada — 2, 5, 11, 23, 47 (×2 + 1)
  • Alternancia — 3, 7, 6, 10, 9, 13 (+4, -1)
  • Cuadrados — 1, 4, 9, 16, 25, 36
  • Cubos — 1, 8, 27, 64, 125
  • Primos — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
  • Fibonacci — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 (Cada término es la suma de los dos anteriores.)
  • Operaciones con cifras

Elegir la regla más sencilla que explique todos los elementos, no una fórmula complicada que coincida por casualidad.

Series numéricas: el método del árbol

Nunca mires una serie «a ver si la ves». Escribe los saltos debajo: la serie se resuelve sola. A eso se le llama método del árbol.

12151923283339+3+4+4+5+5+6

Aquí los saltos no son constantes... pero se repiten por parejas: +3, +4, +4, +5, +5, +6 → toca otro +6 → 39 + 6 = 45.

El orden en que hay que probar (de más frecuente a menos):

  1. ¿La serie crece despacio? → sumas y restas.
  2. ¿Crece muy deprisa o se desploma? → multiplicaciones, divisiones o potencias.
  3. ¿Los saltos no cuadran? → mira si se repiten por parejas o en ciclos de tres (+1, +2, −5...).
  4. ¿Sube y baja en zigzag? → son dos series intercaladas: léelas saltando un término.
19162015211422+1−1+1−1+1

Zigzag perfecto: en rojo una serie (19, 20, 21, 22: +1) y en verde otra (16, 15, 14: −1). Toca la verde: 13. Si intentas resolver esto de un vistazo, te vuelves loco; con dos arcos, es evidente.

Y ten a mano las listas que hay que reconocer de memoria, porque no salen con saltos: cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...), primos (2, 3, 5, 7, 11, 13...) y Fibonacci (cada uno es la suma de los dos anteriores).

Truco. Cuando encuentres un patrón, verifícalo con TODA la serie antes de responder, no solo con los dos primeros saltos. El examinador pone series donde los dos primeros saltos encajan con dos reglas distintas: la trampa está pensada para el que va con prisa.

Método detallado con figuras — Razonamiento numérico
Cálculo rápido, porcentajes, reglas de tres, mezclas, repartos, velocidad-tiempo-distancia y series numéricas. Todo se resuelve con 6 métodos que caben en una chuleta.

Regla de tres directa e inversa

DIRECTA (a más → más; a menos → menos): se multiplica EN CRUZ.

a — b
c — x   →   x = (b · c) / a

Ej.: 3 kg cuestan 7,50 € → 5 kg costarán x = (7,50 · 5) / 3 = 12,50 €.

INVERSA (a más → menos): obreros, grifos, velocidad... se multiplica EN LÍNEA.

a — b
c — x   →   x = (a · b) / c

Ej.: 6 obreros tardan 12 días → 8 obreros tardarán x = (6 · 12) / 8 = 9 días.

COMPUESTA: pon la incógnita a la izquierda. Cada magnitud directa mantiene su fracción; cada inversa se invierte. Multiplica todo.

Truco. Pregúntate SIEMPRE: «si sube esto, ¿la incógnita sube o baja?». Sube→directa (cruz). Baja→inversa (línea). Obreros, grifos y velocidades casi siempre son inversas.

Ejemplos resueltos

4 impresoras tardan 6 días en imprimir 100 libros. ¿Cuántos días tardarán 6 impresoras en imprimir 50 libros?

  1. Incógnita: días. Magnitudes: impresoras (más impresoras → MENOS días: inversa) y libros (más libros → MÁS días: directa).
  2. x = 6 días · (4/6) [inversa: se invierte] · (50/100) [directa: se mantiene]
  3. x = 6 · (4/6) · (50/100): primero 6·(4/6) = 4; después 4·(50/100) = 2. Lo importante es el MÉTODO: inversa se invierte, directa se mantiene.

Días = 6 · (4/6) · (50/100) = 2 días

El sueldo de Ana subió un 7,5% y ahora cobra 92.450 €. ¿Cuánto cobraba antes?

  1. Después de subir un 7,5%, el sueldo es el 107,5% del original: original · 1,075 = 92.450.
  2. original = 92.450 / 1,075 = 86.000.
  3. Comprobación: 86.000 · 1,075 = 92.450 ✓

86.000 €

Porcentajes: los 3 trucos que resuelven casi todo

  • 10% = mover la coma un lugar a la izquierda. 10% de 3.540 = 354.
  • 5% = la mitad del 10%. 1% = mover la coma dos lugares. 15% = 10% + 5%.
  • a% de b = b% de a. El 4% de 50 = el 50% de 4 = 2. ¡Elige el lado fácil!

Subidas y bajadas: subir un 20% = multiplicar por 1,20; bajar un 20% = multiplicar por 0,80.

Truco. «¿De qué número es X el n%?» → divide: número = X / (n/100). Ej.: ¿de qué número es 45 el 15%? → 45/0,15 = 300.

Ejemplos resueltos

¿Cuánto es el 15% de 300?

  1. 10% de 300 = 30.
  2. 5% de 300 = 15 (la mitad del 10%).
  3. 15% = 30 + 15 = 45.

45

Mezclas y repartos (método de la tabla)

MEZCLAS: el valor total se conserva.

C₁·P₁ + C₂·P₂ = (C₁+C₂) · Pmezcla

Ej.: 3 L a 10 €/L + 2 L a 5 €/L → (30+10) € / 5 L = 8 €/L. ¡Siempre con las mismas unidades!

REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (al que más aporta, más le toca): divide el total entre la suma de las partes y multiplica por cada parte.

Ej.: repartir 450 € en proporción a 8, 12 y 16 → suma 36 → 450/36 = 12,5 → reciben 100, 150 y 200 €.

REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL (al menor, más): se reparte proporcional a 1/a, 1/b, 1/c (reduce a común denominador y reparte proporcional a los numeradores).

Truco. En repartos inversos (típico: repartir entre edades y que el pequeño reciba más), comprueba al final que las cantidades SUMAN el total y que el orden es el esperado.

Ejemplos resueltos

Repartir 5.900 € de forma inversamente proporcional a las edades 20, 24 y 32 años.

  1. Inversos: 1/20, 1/24, 1/32. Común denominador 480 → 24/480, 20/480, 15/480.
  2. Reparte proporcional a 24, 20 y 15. Suma = 59. 5.900/59 = 100.
  3. Reciben: 2.400 €, 2.000 € y 1.500 €. El más joven recibe más ✓ y suman 5.900 ✓.

2.400 / 2.000 / 1.500 €

Velocidad, tiempo y distancia

El triángulo mágico: e = v · t (espacio = velocidad × tiempo).

v = e / t   |   t = e / v   |   e = v · t
  • De km/h a m/s: divide entre 3,6. De m/s a km/h: multiplica por 3,6. (72 km/h = 20 m/s)
  • Los minutos van en horas: 1 h 30 min = 1,5 h; 20 min = 1/3 h.
  • Encuentros en sentidos opuestos: las velocidades SE SUMAN. t = distancia / (v₁+v₂).

Truco. Convierte SIEMPRE los minutos a horas antes de operar. El 90% de los fallos en estos problemas son de unidades.

Ejemplos resueltos

Dos autobuses salen a la vez desde dos cocheras separadas 240 km y circulan uno hacia el otro a 50 km/h y 70 km/h. ¿Cuánto tardan en cruzarse?

  1. Se acercan a 50+70 = 120 km/h.
  2. t = 240 / 120 = 2 horas.

2 horas

Series numéricas: las 5 familias

  1. Aritméticas: se suma/resta lo mismo o algo creciente. 12, 15, 19, 23, 28... (+3, +4, +4, +5, +5...)
  2. Geométricas: se multiplica/divide. 3, 6, 12, 24... (×2) o 360, 72, 18... (÷5, ÷4, ÷3)
  3. Alternas: dos operaciones que se turnan. 4, 8, 6, 12, 10, 20... (×2, −2)
  4. Intercaladas: DOS series mezcladas. 19, 16, 20, 15, 21, 14... (19,20,21↑ y 16,15,14↓)
  5. De fracciones: numerador y denominador siguen series separadas. 1/3, 4/7, 7/11... (num +3, den +4)

Método: escribe las diferencias entre términos debajo de la serie. Si no ves nada, prueba a mirar los términos saltando de uno en uno (serie intercalada).

Truco. ¿La serie sube y baja alternativamente? → casi seguro son DOS series intercaladas o un patrón +a/−b. Sepáralas con dos colores.

Ejemplos resueltos

¿Qué número continúa? 8, 6, 4, 12, 10, 8, 24, ...

  1. Diferencias: −2, −2, ×3, −2, −2, ×3...
  2. Patrón: dos restas de 2 y una multiplicación por 3.
  3. Tras 24 tocan las restas: 24 − 2 = 22.

22

MCM y MCD: ¿coincidir o trocear?

  • MCM (mínimo común múltiplo) → problemas de COINCIDENCIA: «dos autobuses salen a la vez, uno cada 12 min y otro cada 18, ¿cuándo vuelven a coincidir?» → MCM(12,18) = 36 min.
  • MCD (máximo común divisor) → problemas de TROCEAR EN PARTES IGUALES lo más grandes posible: «cuerdas de 24 y 36 m en trozos iguales máximos» → MCD(24,36) = 12 m.

Se calculan descomponiendo en factores primos: MCM = comunes y no comunes al mayor exponente; MCD = solo comunes al menor exponente.

Truco. Palabras clave: «volver a coincidir / a la vez» = MCM. «Trozos iguales / el mayor posible / sin que sobre» = MCD.

Practicar series numéricas →