Fórmulas
- speed: v = d / t
- distance: d = v × t
- time: t = d / v
- average_speed: velocidad_media = distancia_total / tiempo_total
Conversiones útiles
- 1 hora = 60 minutos
- 30 minutos = 0.5 horas
- 15 minutos = 0.25 horas
Aviso
La velocidad media no suele ser la media aritmética de dos velocidades.
Ejemplo
Un autobús recorre 90 km a 60 km/h. — Cálculo: t = 90 / 60 = 1.5 horas — Respuesta: 1 hora y 30 minutos
Método detallado con figuras — Razonamiento numérico
Regla de tres directa e inversa
DIRECTA (a más → más; a menos → menos): se multiplica EN CRUZ.
c — x → x = (b · c) / a
Ej.: 3 kg cuestan 7,50 € → 5 kg costarán x = (7,50 · 5) / 3 = 12,50 €.
INVERSA (a más → menos): obreros, grifos, velocidad... se multiplica EN LÍNEA.
c — x → x = (a · b) / c
Ej.: 6 obreros tardan 12 días → 8 obreros tardarán x = (6 · 12) / 8 = 9 días.
COMPUESTA: pon la incógnita a la izquierda. Cada magnitud directa mantiene su fracción; cada inversa se invierte. Multiplica todo.
Truco. Pregúntate SIEMPRE: «si sube esto, ¿la incógnita sube o baja?». Sube→directa (cruz). Baja→inversa (línea). Obreros, grifos y velocidades casi siempre son inversas.
Ejemplos resueltos
4 impresoras tardan 6 días en imprimir 100 libros. ¿Cuántos días tardarán 6 impresoras en imprimir 50 libros?
- Incógnita: días. Magnitudes: impresoras (más impresoras → MENOS días: inversa) y libros (más libros → MÁS días: directa).
- x = 6 días · (4/6) [inversa: se invierte] · (50/100) [directa: se mantiene]
- x = 6 · (4/6) · (50/100): primero 6·(4/6) = 4; después 4·(50/100) = 2. Lo importante es el MÉTODO: inversa se invierte, directa se mantiene.
Días = 6 · (4/6) · (50/100) = 2 días
El sueldo de Ana subió un 7,5% y ahora cobra 92.450 €. ¿Cuánto cobraba antes?
- Después de subir un 7,5%, el sueldo es el 107,5% del original: original · 1,075 = 92.450.
- original = 92.450 / 1,075 = 86.000.
- Comprobación: 86.000 · 1,075 = 92.450 ✓
86.000 €
Porcentajes: los 3 trucos que resuelven casi todo
- 10% = mover la coma un lugar a la izquierda. 10% de 3.540 = 354.
- 5% = la mitad del 10%. 1% = mover la coma dos lugares. 15% = 10% + 5%.
- a% de b = b% de a. El 4% de 50 = el 50% de 4 = 2. ¡Elige el lado fácil!
Subidas y bajadas: subir un 20% = multiplicar por 1,20; bajar un 20% = multiplicar por 0,80.
Truco. «¿De qué número es X el n%?» → divide: número = X / (n/100). Ej.: ¿de qué número es 45 el 15%? → 45/0,15 = 300.
Ejemplos resueltos
¿Cuánto es el 15% de 300?
- 10% de 300 = 30.
- 5% de 300 = 15 (la mitad del 10%).
- 15% = 30 + 15 = 45.
45
Mezclas y repartos (método de la tabla)
MEZCLAS: el valor total se conserva.
Ej.: 3 L a 10 €/L + 2 L a 5 €/L → (30+10) € / 5 L = 8 €/L. ¡Siempre con las mismas unidades!
REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (al que más aporta, más le toca): divide el total entre la suma de las partes y multiplica por cada parte.
Ej.: repartir 450 € en proporción a 8, 12 y 16 → suma 36 → 450/36 = 12,5 → reciben 100, 150 y 200 €.
REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL (al menor, más): se reparte proporcional a 1/a, 1/b, 1/c (reduce a común denominador y reparte proporcional a los numeradores).
Truco. En repartos inversos (típico: repartir entre edades y que el pequeño reciba más), comprueba al final que las cantidades SUMAN el total y que el orden es el esperado.
Ejemplos resueltos
Repartir 5.900 € de forma inversamente proporcional a las edades 20, 24 y 32 años.
- Inversos: 1/20, 1/24, 1/32. Común denominador 480 → 24/480, 20/480, 15/480.
- Reparte proporcional a 24, 20 y 15. Suma = 59. 5.900/59 = 100.
- Reciben: 2.400 €, 2.000 € y 1.500 €. El más joven recibe más ✓ y suman 5.900 ✓.
2.400 / 2.000 / 1.500 €
Velocidad, tiempo y distancia
El triángulo mágico: e = v · t (espacio = velocidad × tiempo).
- De km/h a m/s: divide entre 3,6. De m/s a km/h: multiplica por 3,6. (72 km/h = 20 m/s)
- Los minutos van en horas: 1 h 30 min = 1,5 h; 20 min = 1/3 h.
- Encuentros en sentidos opuestos: las velocidades SE SUMAN. t = distancia / (v₁+v₂).
Truco. Convierte SIEMPRE los minutos a horas antes de operar. El 90% de los fallos en estos problemas son de unidades.
Ejemplos resueltos
Dos autobuses salen a la vez desde dos cocheras separadas 240 km y circulan uno hacia el otro a 50 km/h y 70 km/h. ¿Cuánto tardan en cruzarse?
- Se acercan a 50+70 = 120 km/h.
- t = 240 / 120 = 2 horas.
2 horas
Series numéricas: las 5 familias
- Aritméticas: se suma/resta lo mismo o algo creciente. 12, 15, 19, 23, 28... (+3, +4, +4, +5, +5...)
- Geométricas: se multiplica/divide. 3, 6, 12, 24... (×2) o 360, 72, 18... (÷5, ÷4, ÷3)
- Alternas: dos operaciones que se turnan. 4, 8, 6, 12, 10, 20... (×2, −2)
- Intercaladas: DOS series mezcladas. 19, 16, 20, 15, 21, 14... (19,20,21↑ y 16,15,14↓)
- De fracciones: numerador y denominador siguen series separadas. 1/3, 4/7, 7/11... (num +3, den +4)
Método: escribe las diferencias entre términos debajo de la serie. Si no ves nada, prueba a mirar los términos saltando de uno en uno (serie intercalada).
Truco. ¿La serie sube y baja alternativamente? → casi seguro son DOS series intercaladas o un patrón +a/−b. Sepáralas con dos colores.
Ejemplos resueltos
¿Qué número continúa? 8, 6, 4, 12, 10, 8, 24, ...
- Diferencias: −2, −2, ×3, −2, −2, ×3...
- Patrón: dos restas de 2 y una multiplicación por 3.
- Tras 24 tocan las restas: 24 − 2 = 22.
22
MCM y MCD: ¿coincidir o trocear?
- MCM (mínimo común múltiplo) → problemas de COINCIDENCIA: «dos autobuses salen a la vez, uno cada 12 min y otro cada 18, ¿cuándo vuelven a coincidir?» → MCM(12,18) = 36 min.
- MCD (máximo común divisor) → problemas de TROCEAR EN PARTES IGUALES lo más grandes posible: «cuerdas de 24 y 36 m en trozos iguales máximos» → MCD(24,36) = 12 m.
Se calculan descomponiendo en factores primos: MCM = comunes y no comunes al mayor exponente; MCD = solo comunes al menor exponente.
Truco. Palabras clave: «volver a coincidir / a la vez» = MCM. «Trozos iguales / el mayor posible / sin que sobre» = MCD.